C'est une Isométrie d'après le cas d'égalité de l'Inégalité de Hölder \(\to\) go montrer la surjectivité.

On suppose \(p\geqslant2\).

On pose l'ensemble des \(\varphi_g\) \(\to\) on a déjà une inclusion.

\(F\) est un Fermé de \(E\), car complet car isométrique à \(L^q\).

On va procéder par l'absurde.

Il y a une Forme linéaire non nulle de \(E\) qui s'annule sur \(F\) par Critère de densité.

On utilise le fait que \(L^p\) est un Espace réflexif (via la Première inégalité de Clarkson).

Le cas d'égalité dans l'Inégalité de Hölder mène à une contradiction \(\to\) ok pour \(p\geqslant2\).

Le cas \(p\lt 2\) s'obtient en déplaçant les étoiles.